Hubungan antara Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring

A.   Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang berpotongan pada pusat lingkaran. Pada gambar di samping, ˂AOB = α adalah sudut pusat lingkaran. Garis lengkung AB disebut busur AB dan daerah yang diraster (diarsir) disebut juring.

 

Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring adalah sebagai berikut.

Sekarang perhatikan Gambar di atas tersebut. Dari gambar tersebut diperoleh

Sekarang, misalkan ∠ COD = satu putaran penuh = 360° maka keliling lingkaran = 2πr, dan luas lingkaran = πr² dengan r jari-jari, akan tampak seperti Gambar di atas, sehingga diperoleh

Dengan demikian, diperoleh rumus panjang busur AB, luas juring AB, dan luas tembereng AB pada Gambar di atas adalah

panjang busur AB = (α : 360°) x 2πr

luas juring OAB = (α : 360°) x πr²

luas tembereng AB = luas juring OAB – luas Δ AOB.

Contoh Soal Tentang Hubungan Antara Sudut Pusat, Panjang Busur, Dan Luas Juring

Perhatikan Gambar di atas. Diketahui panjang jari-jari OA = 28 cm. Jika besar ∠ AOB = 90°, hitunglah

1. panjang AB ;
2. luas juring OAB;
3. luas tembereng AB.

Penyelesaian: 

1. Panjang AB = (∠ AOB : 360°)  x 2πr 

    Panjang AB = (90°: 360°)  x 2 x 22/7 x 28 cm 

    Panjang AB = (1/4)  x 2 x 22/7 x 28 cm 

    Panjang AB =  44 cm 

2. Luas juring OAB = (∠ AOB : 360°)  x πr2 

     Luas juring OAB = (90° : 360°)  x 22/7 x (28 cm)2 

     Luas juring OAB = (1/4)  x 22/7 x 28 x 28 cm² 

     Luas juring OAB = 616 cm² 

3. Karena besar sudut AOB = 90°, maka Δ AOB adalah Δ siku-siku sisi 10 cm, sehingga 

Luas Δ AOB = ½ alas x tinggi 

Luas Δ AOB = ½ x 28 cm x 28 cm 

Luas Δ AOB = 392 cm2

^{Luas tembereng AB = luas juring AOB – luas ΔAOB}   

Luas tembereng AB = 616 cm² – 392 cm2 

Luas tembereng AB = 224 cm² 

 

B. Menggunakan Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, Luas Juring dalam Kehidupan Sehari-hari

 

Contoh :

1.

Sebuah roda mempunyai 8 jeruji dengan jari-jari 28cm. Besar sudut roda 360^◦. Tentukan:

a       a. Besar sudut antar jeruji (α)

  b. Panjang busur AB 

Pembahasan:

            Diketahui:      r = 28 cm

                                    Besar sudut roda = 360^◦

            Ditanya:         a. α

                                    b. panjang busur AB

            Jawab:           a. Keliling      =   2ᴫr

                                                          =    2 x 22/7 x 28 cm

                                                          =    176 cm 

                                           α   = 360° : jumlah jeruji

                                                = 360° : 8

                                                                             =  45°

b.  α : 360°   = panjang busur AB : keliling lingkaran

     45° : 360°= panjang busur AB : 176 cm

     1 : 8          = panjang busur AB : 176 cm

    panjang busur AB = 176 cm : 8

    panjang busur AB = 22 cm

 

2. 

 

 

 

Sebuah pizza dipotong menjadi 6 bagian. Sudut setiap potong pizza sebesar 60^◦. Panjang busur PQ sebesar 22 cm. 

Hitunglah :

a. r

b. luas per potong pizza

Pembahasan:

Diketahui:      Jumlah potongan pizza = 6 bagian

                        α = 60^o

                        Panjang busur PQ = 22 cm

Ditanya:        a. r

                       b. luas per potong pizza

Jawab:          a.          α : 360°    = panjang busur PQ : keliling lingkaran

 60° : 360°= 22 cm : keliling lingkaran

  1 : 6        = 22 cm :  keliling lingkaran

  keliling lingkaran = 22 cm x 6

                                     keliling lingkaran = 132 cm 

                                     keliling lingkaran = 2ᴫr

      132 cm          = 2 x 22/7x r

        r                    = (132 cm x 7) : 44 cm

        r                    = 924 cm : 44 cm

            r                    = 21 cm

 

b.         Luas lingkaran         = ᴫr²

                                          = 22/7 x (21 cm)²

                                                                                 = 22/7 x 441 cm²                                                                                  = 1386 cm²

                                 α : 360°      = luas per potong pizza : luas lingkaran

                                  60° : 360° = luas per potong pizza : 1386 cm²

                                                 ^{luas per potong pizza = 1386 cm2 : 6}

                                       ^{luas per potong pizza = 231 cm2}